LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU
2000/2001
Prezent wakacyjny
Zadanie 7
Wyznaczyć wszystkie liczby trzycyfrowe, które są 11 razy większe od sumy swoich cyfr.Rozwiązanie:
Dane w zadaniu można zapisać w ten sposób:
można przedstawić jako 100x+10y+z. Wstawiam to do równania.
100x+10y+z=11·(x+y+z)
100x+10y+z=11x+11y+11z /-10y100x+z=11x+y+11z /-z
100x=11x+y+10z /-11x89x=10z+y
x,y,z € {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
| x nie równa się 0, | ponieważ gdyby x=0 to liczba nie byłaby trzycyfrowa |
| z nie równa się 0, | ponieważ gdyby z=0, to wtedy 10·0+y=0+y=y czyli liczba jednocyfrowa, a skoro x nie równa się 0 to wtedy ta równość by się nie zgadzała. |
Najmniejszy możliwy wynik 89x jest wtedy, gdy x=1 czyli 89·1=89, a największy gdy x=9 czyli 89·8=801.
Najmniejszy możliwy wynik 10z+y jest wtedy, gdy z=1 i y=0 czyli 10·1+0=10, a największy gdy z=9 i y=9 czyli 10·9+9=99.Skoro 89x=10z+y to 89x € {89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99}.
Ponieważ 89x równe 10z+y jest liczbą dwucyfrową, dlatego x musi być równe 1 (gdyby było równe 2, to wtedy 89·2=178 - nie jest to liczba dwucyfrowa).Z tego powodu z=8,a y=9, bo
89·1=89=10·8+9Skoro x=1, z=8 i y=9 to =198.
Karolina Kapica